На основе совместного решения системы уравнений Максвелла и уравнений релятивистской гидродинамики для электронной жидкости исследованы стационарные двумерные электронные вихри в холодной плазме с неподвижными ионами. В частности, рассмотрен случай двухпараметрического семейства экспоненциально спадающих профилей концентрации электронов. Исследована зависимость основных свойств вихря от его радиуса и толщины. Найдена область параметров, в которой существенны релятивистские эффекты. В этой области получены зависимости плотности энергии в вихре от его параметров и показано, что в экспериментально реализуемых условиях отношение радиуса вихря к толщине плазменного скин-слоя приблизительно равно отношению полной энергии в плазме, приходящейся на один электрон, к энергии покоя электрона.